Как понять математику

В данной статье мы рассматриваем различные подходы, которые могут оказаться полезными на пути изучения математики, даже если вы или ваш ребенок на первый взгляд ориентированы больше на гуманитарные дисциплины.

Слабый ученик, что делать? Советы репетитору по математике

Каков типичный слабый ученик, и какие мысли могут посещать его ум? Возможно ли его чему-то научить? Эти вопросы терзают многих преподавателей. О, сколько хлопот доставляют педагогам ленивые и немотивированные двоечники, и это касается не только математики. Проведя несколько лет в роли репетитора, вы обязательно столкнетесь с учениками, которые представляют собой настоящую проблему, и у вас возникнет желание сразу же оставить занятия. Тем не менее, репетитор по математике по своей профессиональной необходимости должен уметь работать с подобными сложными случаями. Но как это сделать? Насколько безнадежным может быть такой «двоечник»? Как изменить его мышление и обеспечить хотя бы базовые знания?

Недавно один мой знакомый репетитор по математике обратился ко мне за советом, касающимся стратегии работы с очень сложным учеником из 8 класса. Ситуация, как обычно, типичная: ни о чем не понимает, ни о чем не знает, и ни за что не может взяться. Что же делать в таких случаях? Я привожу подробное описание случая и свои мысли о подобной ситуации.

Репетитор по математике Ермакова Диана : Пожалуйста, подскажите, как действовать. У меня на занятиях мальчик из 8 класса. Обычный, не профильный. Занятия начались в сентябре, и это очень трудный случай. Во-первых, у него плохая память и высокая утомляемость (через 15 минут он начинает зевать). Есть проблемы с позвоночником, возможно, причины кроются именно в этом. Он усиленно лечится, даже месяц провел в санатории (как раз оставила за ним место). Мы сократили продолжительность занятий с 1,5 часов до одного, так как он не может так долго сидеть. Математика для него — это нечто экзотическое, набор магических символов и правил, которые не поддаются логическому объяснению. Однако со счетом у него проблем нет, он вполне справляется с материалом 6 класса. Но когда начинаются алгебраические выражения, уравнения и тому подобные вещи — это настоящая катастрофа. Мы топчемся на одном месте вот уже полгода. Он ленив и делает домашнее задание лишь под давлением родителей. Каждый мой звонок — это для него катастрофа, его наказывают, лишают всего, и он приходит в слезах. Но изменить эту ситуацию и просто работать так, чтобы мне не пришлось звонить родителям, он не хочет.

Список его систематических ошибок следующий: при переносе слагаемых из одной части уравнения в другую он меняет знаки у всех слагаемых уравнения, например: из 2х=5 следует, что х=5-2 или х=2:5. Знаки он постоянно путает. Шаги вправо-влево — это для него полная загадка. Я не могу сказать, что логика в его мышлении отсутствует, но он предпочитает не использовать ее. Я стараюсь объяснить ученику, почему происходит то или иное действие, и как его можно проверить. Никогда не объясняю решение готовых задач: чтобы понять решение, его надо пройти полностью самостоятельно, прочувствовать. Но он просто не хочет слушать мои объяснения — он как будто «выключается». Говорит, что если я скажу, что надо делать, он будет это делать. Он действительно хочет улучшить свои знания по предмету, но только теоретически. На практике же это не удается. Я предлагала ему найти другого репетитора по математике, но он настаивает на занятиях именно со мной, боится, что следующий репетитор окажется строгим. К тому же он очень медлителен. На контрольной работе по алгебре он успевает решить лишь 3 из 5 заданий, что едва позволяет ему получить тройку, даже если он все выполняет верно. В алгебре его оценки упорно держатся на уровне три-два. Геометрия — это отдельная тема: он вроде как интересуется ею, ему нравится рисовать чертежи. Но практически теоремы и доказательства запоминаются только на короткий срок. На следующий день он просто не может их применить к конкретным задачам. Кстати, можете добавить его «перл» в вашу коллекцию: развернутый угол равен 180 градусам, а свернутый угол — не более 10 градусов :))

Обо мне

Я Колпаков Александр Николаевич, являюсь репетитором по математике с опытом преподавания 18 лет. Я автор статей и разработчик методик индивидуального обучения. У меня высшее педагогическое образование, диплом МПГУ. У меня непрерывная практика в проведении частных уроков с третьего курса МПГУ. Мои ученики — победители школьных, районных и городских олимпиад. Выпускники последних 5 лет — студенты престижных вузов: МГУ, ВШЭ, ФА, МФТИ, РЭА и других. Обсудить вопросы и записаться на занятия можно по телефонам: 8(916) 081-68-55 (мобильный) и 8(495) 756-93-95 (домашний) или написав на адрес: alex36@mail.ru

Если вам понравилось на моем сайте, нажмите, пожалуйста, кнопку +1 для Google. Это поможет повысить популярность сайта и, соответственно, мою заинтересованность в его развитии. Спасибо!

Зачем нужна математика?

Если вы решили стать, к примеру, журналистом или политологом, то навык вычисления интегралов или нахождения дискриминанта вряд ли вам понадобится. Однако системное мышление, которое развивает математика, весьма полезно в вашей работе. Занимаясь математикой, вы научитесь логически мыслить, работать с большим количеством информации одновременно, разрабатывать и обосновывать концепции, а также формулировать и обосновывать свою точку зрения.

Математика, как и любой язык, представляет собой знаковую систему. Вы не сможете свободно говорить на иностранном языке, просто выучив словарь, ведь необходимо также знать и грамматику. Простой заучиванием не достичь желаемого результата. Математику важно понимать. С первого класса этот предмет изучается от простого к сложному. Если в начальной школе не удалось усвоить материал, то в старших классах быстро наверстать упущенное будет крайне сложно.

Что же делать?

Родители, сталкиваясь с тем, что ребенок получает по математике исключительно двойки и тройки, обычно начинают искать репетитора или подготовительные курсы. Примерно в 80% случаев дополнительные занятия и смена преподавателя (даже временно) позволяют решить проблему. Это говорит о том, что причина низкой успеваемости связана с тем, что школьнику сложно успевать за классом, он стесняется задавать вопросы, если что-то неясно, боится учителя или же у него есть пробелы в знаниях.

Но как поступить, если ребенок изо всех сил старается понять математику, но у него ничего не выходит? Здесь, как правило, начинаются отговорки:

• У него нет способностей к математике.
• Он — чистый гуманитарий.
• Почему девочке нужна математика?
• Математика — это слишком сложный предмет.
• Спасибо, Марь Иванна, нам очень пригодились в жизни интегралы.

К сожалению, эти проблемы не решают ситуацию, а наоборот, усугубляют ее. Математика — это обязательный экзамен в 9 и 11 классах, и терять время на подобные оправдания просто неразумно.

Дело не в способностях, дело в мышлении

По мнению детских психологов, дети, не успевающие по математике, имеют одно общее свойство: они настолько боятся сделать ошибку, что этот страх мешает им собрать мысли и решить задачу правильно. Причины, как всегда, находятся в начальной школе.

• Недостаточно развитое абстрактное мышление.
• Проблемы с навыками чтения.
• Стеснительность.
• Страх получить низкую оценку.

Эти факторы вместе мешают ребенку понять условия задачи и привести к неудачам, страхам и непониманию самого предмета. Ребенок начинает считать себя абсолютно безнадежным в математике, и это чувство усиливается неодобрительными высказываниями родителей и учителей в различных формах — от «Ты какой-то умственно отсталый» до «У тебя мозги гуманитария». Из обычного школьного предмета математика превращается в бесконечный источник унижений, страха и негативных эмоций.

Можно ли исправить ситуацию?

Психологи советуют действовать сразу в нескольких направлениях.

1. Прежде всего, необходимо найти преподавателя, который будет увлечен своим предметом и будет с уважением относиться к детям. Учитель должен показать, что математика — это не скучный набор чисел и непонятных правил, а язык, на котором говорит вся Вселенная, обладающий своей эстетикой и философией.
2. Кроме того, детям-гуманитариям необходимо обращать внимание на смысл своих действий. Как только они начнут замечать математические аспекты в окружающем мире и применять ее законы к привычным вещам, они получат успехи и в ненавистном предмете.
3. Нельзя унижать ребенка и говорить ему, что он чего-то не может. Если у него что-то не получается, нужно пытаться, пока не получится, применяя разные пути решения проблемы. Чувство удовлетворения от преодоления трудностей поможет ребенку вернуться к уверенности в себе и возникнет желание повторить этот опыт.
4. Необходимо устранить пробелы в знаниях. Как это сделать? Записать ученика на подготовительные курсы, причем чем раньше, тем лучше — например, за 1,5–2 года до ГИА или ЕГЭ. Изучить большой объем материала за несколько месяцев будет невероятно сложно.

Пословицы «Не так страшен черт, как его малюют» и «У страха глаза велики» применимы и к математике. Это чудовище достаточно легко можно приручить.

Почему важно сразу ориентироваться на профильную математику?

Хорошие оценки по математике необходимы для поступления на некоторые гуманитарные специальности, особенно те, которые связаны с экономикой, маркетингом и управлением. Бывает даже, что это требование предъявляется к будущим лингвистам. Все зависит от учебного заведения и его профиля. Однако информация о том, что засчитывается результат только за профильную математику, не всегда доступна.

Выбрав профильную математику, вы:

• значительно увеличите свои шансы на бюджетное место;
• сможете подать документы в большее количество вузов;
• лучше поймете другие предметы, особенно языки.

Кроме того, вы сможете достойно отвечать на неуместные шутки про гуманитариев, когда в разговоре идет речь о том, что один, два, три — это «много».

С другой стороны, если до ЕГЭ остался всего год, а по математике у вас двойки, логичнее будет выбрать базовый уровень и начать готовиться к нему. Да, это ограничит ваши возможности выбора специальностей, но при этом вы скорее всего сдадите экзамен и получите аттестат.

Что такое математическая тревожность?

Специалисты определяют математическую тревожность как предрасположенность человека испытывать сильную тревогу в ситуациях, связанных с потребностью применять математику.

При решении каких-либо задач, ожидании урока или контрольной работы, ребёнок может испытывать сильное беспокойство, ощущая угрозу, испытывая приступы паники, учащенное сердцебиение, холодный пот и зуд на коже. Иногда могут проявляться и физиологические симптомы, такие как повышение температуры или расстройство желудка.

Приступ тревожности также могут вызвать любые действия с числами: не только сложные задачи в домашнем задании или контрольной по алгебре, но и, например, игра в «Монополию», где нужно подсчитать свой доход.

Математическая тревожность нарастает постепенно. Обычно в первом классе все дети более-менее справляются со счетом. Но по мере усложнения учебной программы, растет и страх.

К таким выводам пришел Рэй Хембри. В своей работе «Сущность, результаты и пути преодоления математической тревожности», опубликованной в 1990 году, он утверждает, что пиковая точка математической тревожности приходит к 14-15 годам, а затем идет на спад.

Что касается появления симптомов, то они вовсе не связаны с интеллектом ребенка и его способностью к обучению. По другим предметам он может показывать отличные результаты и не испытывать никаких сложностей.

Откуда берется математическая тревожность?

Согласно исследованиям 1984 года, проведенным Сьюзан Шодаль и Клион Дайерс из общественного колледжа в Сан-Бернардино, Калифорния, причины могут быть связаны с системой преподавания математики в целом. Страх вызывают:

Математические понятия

В школьных учебниках они описываются в таком сложном и абстрактном языке, что восьмилетнему ребенку не удается уловить суть. Он пытается запомнить материал, не понимая смысла и не вдумываясь в понятия. Естественно, удержать эти понятия в памяти надолго у него не получится. Он забывает, нервничает из-за этого, боится, что его спросят, а он запутается и так далее.

Методика преподавания

Часто дети неплохо справляются с математикой в начальных классах, но когда приходят в 5-6 класс, начинает заметно ухудшаться успеваемость.

Это происходит из-за того, что ребенок не понимает, как действия с предметами, натуральные числа и простые дроби (с которыми можно работать физически) соотносятся с отрицательными, иррациональными числами, формулами, теоремами, доказательствами и формальной логикой. Ребенок задает себе вопрос: «Зачем все это?» Не находя ответа, он отказывается усваивать новую, на его взгляд, бесполезную информацию.

Учителя на уроках по прежнему требуют от ребенка выполнения заданий, он должен писать контрольные, в четверти выставляются плохие оценки, и ребенок вынужден искать единственный доступный выход — списывать. В то же время у него постоянно подспудно сохраняется страх быть пойманным, что его вдруг спросят учитель и он опозорится у доски или на экзамене.

Что такое дискалькулия?

Прежде всего, важно провести четкую границу. Ребенку может быть трудно решать задачи на сравнение, он может ошибаться в вычитании или забывать цифры, когда у него возникает стресс. Но это не означает, что он страдает от дислексии, это вопрос психологии и, в частности, математической тревожности, о которой было сказано ранее.

Дети же с дискалькулией сталкиваются с совершенно иной ситуацией. Их мозг не понимает самого смысла чисел. Они физически не могут соотнести цифру 2 с количеством предметов, смотря на нее. Для них цифры — это просто бессмысленные каракули.

По различным исследованиям, от дискалькулии страдают от 3 до 7% людей.

Изучая умственное развитие детей, ученые подтвердили, что для запоминания и распознавания цифр требуется способность оценивать количество предметов «на глаз». Например, новорожденный может распознать группы из двух или трех объектов, а взрослый способен на глаз определить количество предметов до пяти. Так же легко мы распознаем, где больше, а где меньше.

Однако ребенку с дискалькулией такая способность недоступна. Ему, чтобы понять, где больше, придется тщательно пересчитать предметы, загибая пальцы.

Почему они такие?

Откровенно говоря, однозначного ответа на этот вопрос еще нет. Существуют несколько теорий, основанных на исследованиях мозговой активности.

Синдром Герштмана

Это называют также пальцевой агнозией. Дети, страдающие дискалькулией, путаются в своих пальцах. Это связано с недостатками в теменной доле мозга.

В этом участке мозга присутствует внутритеменная борозда. У обычных людей этот участок активизируется при выполнении умственных операций, связанных с числами и подсчетами. У детей с дискалькулией он менее активен и содержит меньше серого вещества.

Генетика

Так называемый близнецовый анализ продемонстрировал, что арифметические способности — это на 30% наследственная предрасположенность.

Изучение проблемы все еще продолжается. Однако для нас не так важно знать причину дисфункции, сколько понять, что делать дальше.

Как определить дискалькулию?

В целом, диагностику дискалькулии должен проводить специалист, предпочтительно невролог. Тем не менее, этот дефект имеет характерные проявления:

• Дискалькулия проявляется с детства. В отличие от тревожности, она не возникает внезапно. Нельзя, чтобы ребенок нормально учился до 3-го класса, а затем вдруг у него появилась дискалькулия.
• Затрудняется зрительное восприятие большого количества предметов. Попробуйте спросить восьмилетнего ребенка:

— Маша, у тебя есть одно яблоко, а я положу еще одно. Сколько их теперь?

Ребенок с дискалькулией не сможет визуально подсчитать количество предметов. Поэтому он в лучшем случае ответит: «Одно… и еще одно». Цифру «2» ему придется запомнить как стихотворение и каждый раз загибать пальцы при устном счете.

• Не запоминает и не распознает цифры. Если он пытается их написать, он может делать это зеркально и не может вспомнить их названия. Конечно, он не может запомнить и таблицу умножения или выполнять устные расчеты.
• Циферблат часов и понятие времени не улаживаются в его голове. Традиционные упражнения из учебников, сотни повторений и объяснений не показывают результата — ребенок просто не понимает.
• Испытывает трудности с любыми алгоритмами действий и последовательностями. Это может касаться дней недели, месяцев в году или шагов на инструкциях, например, как включить микроволновку. Ему так же трудно планировать дела заранее.

Тренируйтесь регулярно

Математика — это по сути спорт. Когда мы занимаемся в спортзале или на стадионе, выполняя повторения, чтобы улучшить свои физические показатели, мы фактически помогаем нашей нервной системе адаптироваться к новому уровню нагрузки. Этот новый уровень вскоре становится для нас нормой, и мы переходим к более сложным упражнениям.

Тот же самый принцип применим и к умственным упражнениям: чем больше повторений, тем легче становится решать уравнения или находить экстремумы графиков функций. Часто в школьной программе не отводится достаточного времени для качественной отработки определенных тем и типов заданий. Мы все разные: кто-то быстро усваивает информацию, а кому-то требуется больше времени, чтобы обдумать информацию и несколько раз повторить одно и то же действие, прежде чем принцип решения усваивается.

Повышайте уверенность в себе

Чем выше ваша или вашего ребенка уверенность, тем легче будут даваться задания по математике. Ключевым моментом является избавиться от страха неудачи. Если вы подходите к занятиям с мыслью «я не знаю, получится ли у меня», и «я еще не пробовал решать этот пример», негативных ожиданий станет гораздо меньше.

Также полезно заниматься любыми упражнениями, направленными на развитие уверенности в себе. Например, на семинарах и сменах в летнем лагере «Маткласс» проходят такие программы, как «Покорители вершин», «Курс наук под парусом», «Рыцарский турнир в Царстве наук» (нужны ссылки), где участникам целенаправленно предлагаются испытания, способствующие росту уверенности в своих силах и способностях.

Как действовать родителям, чтобы помочь своему ребенку?

Математика — один из тех предметов, которые плохо понимает как ребенок, так и взрослый. В младших классах на уроках акцентируется внимание на практических задачах (например, у Пети пять яблок, у Васи три, поезд выехал из пункта A в пункт B), но в средней и старшей школе обучение становится более абстрактным. Акцент смещается на заучивание формул и понятий, решение длинных уравнений и логарифмов. Это скучно, сложно и непонятно, какое вообще отношение это имеет к реальной жизни. Многим учителям не хватает педагогического искусства, чтобы объяснить ученикам, что математика — это не только четыре простых действия. Числа окружают нас повсюду, и умение эффективно работать с ними — это важный жизненный навык, необходимый для многих профессий (от плотника до ракетостроителя).

Вам необходимо показать ребенку, что математика — это не просто арифметика, где для подсчета хватает калькулятора. Важно освоить решение сложных задач: идентифицировать проблему, выбрать правильный метод и соблюдать последовательность действий.

Вот, что можно сделать:

1. Станьте примером. Взрослые часто при ребенке заявляют о том, что ненавидели математику в школе. Это может спровоцировать математическую тревожность. Покажите, как вы работаете с числами, например, заполняя налоговые декларации или рассчитывая платежи по кредиту. Объясните, как важна математика в процветающих профессиях (от дизайна до программирования).
2. Помогите ребенку использовать математику ежедневно. Придумывайте реальные задачки: попросите посчитать, сколько стоят четыре йогурта; спросите, сколько времени потребуется, чтобы добраться до театра в зависимости от скорости; спросите, сколько будет стоить игрушка со скидкой и сколько времени потребуется, чтобы накопить на нее из карманных денег.
3. Имеете в виду учебные стандарты. Следите за тем, какие навыки должен освоить ваш ребенок в детском саду, в первом, втором классе и так далее. Это позволит вам немного обогнать программу, пройти новые темы заранее, а также контролировать домашние задания и находить пробелы в знаниях.
4. Следите за выполнением домашнего задания. Ненавистное домашнее задание является важной частью образования. Особенно важно оно для математики. Ребенок должен научиться проверять сложение вычитанием, не отказываться от пересчета, если ответ не сходится. Мотивируйте его решать задания повышенной сложности.
5. Играйте в математические игры (только не упоминайте, что это образовательные игры). Например, шахматы, домино, «Монополию», нарды.
6. Читать книги, в которых главные герои решают проблемы с помощью математики или логики. Например, «Приключения Нулика» Левшина и Александровой, «История с узелками» Льюиса Кэрролла, «Представь себе» Дэвида Смита, «Заколдовать учителя? Нет проблем!» Томаса Брецины.

Польза курсов ментальной арифметики

Sirius Future приглашает всех желающих, кто все еще не понимает, для чего нужна математика, записаться на курсы ментальной арифметики. На занятиях ребенок изучает соробан или абакус — старинные счеты, которые уже использовались в Месопотамии. Работа с ними наглядно демонстрирует, как происходят действия, расчеты и вычисления. Нам недостаточно просто выучить алгоритм, важно, чтобы ребенок понимал, как он работает. Например, в случае с десятками и единицами: 8 + 9 = 17 — это один десяток и семь единиц. На счетах после заполнения столбика единиц один десяток просто откладывается в следующем столбике.

Со временем счеты убираются, и ребенок начинает решать простые математические задачи, используя мысленные образы. Этот подход помогает ему сосредоточиться, исключает отвлечение на предметы вокруг и развивает память, позволяя удерживать в голове все больше чисел и действий.

Ментальная арифметика учит ребенка быстро и правильно считать, упрощая сложные примеры. Для этого важно полностью понимать свои действия. Как умножить 194 на 7 без калькулятора? Можно сначала умножить 200 на 7, получив 1400, а затем вычесть 6 умноженное на 7, то есть 42. В итоге, 1400 – 42 = 1358 (вы можете это проверить).

1. Ребенок практикует математику в уме до такой степени, что основные вычисления становятся автоматическими.
2. Он способен удерживать в уме результат своих действий после каждого шага.
3. Он понимает концепцию математики и умеет выбирать наиболее эффективный способ решения задачи.

Осознав суть математики, ребенок станет уверенно чувствовать себя в классе. Это повысит его самооценку, ведь он будет считать быстрее и лучше других, легко справляться с тестами, выполнять контрольные. Это станет отличным стартом к успешному будущему.

Лучший возраст для записи ребенка на курсы ментальной арифметики — от 4 до 10 лет, но начинать никогда не поздно!